Unidad IV Análisis de señales discretas en el tiempo.
4.1. Teorema de muestreo.

4.2. Cálculo numérico de la transformada de Fourier:
transformada discreta de Fourier
(TFD).



La Transformada de Fourier de la secuencia x[n] se define:

ecuación que muestra que una señal x[n] no periódica puede ser modelada en componentes senoidales y cosenoidales, es por lo tanto una ecuación de análisis,
La ecuación:

permite reconstruir la señal x[n] a partir de su transformada X(W), es por lo tanto una ecuación de síntesis.
Objetivo: Desarrollar métodos matemáticos para calcular las ecuaciones anteriores mediante un sistema digital de cálculo.
Considerando una señal x[n] caracterizada por N muestras:

Aún cuando X(W) es periódica, de periodo 2p, presenta simetría de espejo entorno a p, con lo cual con representar en el margen de 0 a p es suficiente.
Para calcular X(W) en un sistema digital de cálculo (DSP, ordendor, etc), debemos muestrear W. Tomamos M puntos distribuidos regularmente en el intervalo (0, 2p).
En la página adjunta se representa las ecuaciones correspondientes a la respuesta en frecuencia discretizada tomando M muestras
PROBLEMA: ¿Que valor de M escogemos?
-- Solución inmediata: Escoger el valor mas grande posible.
-- Desventaja: La respuesta en frecuencia es más costosa de calcular. Vamos a demostrar que seleccionando M=N es "suficiente" y que no es necesario evaluar la respuesta en frecuencia en más puntos.
RESUMEN: Si la respuesta en frecuencia se calcula únicamente en N muestras de frecuencias, k(2p/N), la señal x[n] se puede reconstruir de los N valores de la respuesta en frecuencia.
 k = 0, 1, 2,...... N-1
Transformada discreta de Fourier (DFT)
Reconstruimos la respuesta x[n] mediante:
 n = 0, 1, 2,...... N-1
Transformada inversa discreta de Fourier (IDFT)
4.3. Señales periódicas discretas en el tiempo.
Para este momento usted debería estar familiarizado con la derivación de la series de Fourier de tiempo continuo, funciones periódicas . Esta derivación nos lleva a las siguientes ecuaciones las cuales usted debería conocer:
f(t)=∑nncneiω0nt
(1)
cn==1T∫f(t)e−(iω0nt)dt1T⟨(f,eiω0nt)⟩
(2)
donde cn nos dice la cantidad de frecuencia en ω0n in f(t).En este módulo derivaremos una expansión similar para funciones periódicas y discretas en el tiempo. Al hacerlo, nosotros derivaremos las series de Fourier discretas en el tiempo(DTFS), también conocidas como trasformadas discretas de Fourier (DFT).
Derivación del DTFS
Así como en la función periódica continua en el tiempo puede ser vista como una función en el intervalo [0,T]
(a) Función periódica

(b) Función en el intervalo [0,T]
Figura 1(a) (fanal1.png)	Figura 1(b) (fanal2.png)

||

Figura 1: Solo consideraremos un intervalo para la función periódica en esta sección.

Una señal periódica discreta en el tiempo (con periodo N) se puede ver como un conjunto de números finitos. Por ejemplo, digamos que tenemos el siguiente conjunto de números que describe una señal discreta, donde N=4:
{…,3,2,-2,1,3,…}
; Podemos representar esta señal como una señal periódica o como un intervalo simple de la siguiente forma:
|||| (a) Función periódica

(b) Funcion en el intervalo [0,T]
Figura 2(a) (fanal3.png)	Figura 2(b) (fanal4.png)

||

Figura 2: Aquí nada mas observamos un periodo de la señal que tiene un vector de tamaño cuatro y esta contenida en C4.

NOTE: 
El conjunto de señales de tiempo discreto con periodo N es igual a CN.
Tal como en el caso continuo, formaremos una base usando senosoidales armónicos. Antes de esto, es necesario ver las senosoidales complejas discretas con mas detalle.
Senosoidales Complejos
Si usted esta familiarizado con la señal senosoidal básica y con los exponenciales complejos entonces usted no tendrá ningún problema para entender esta sección. En todos los libros, usted verá que la senosoidal compleja discreta se escribe así:
eiωn
EJEMPLO 1
||

Figura 3 (csin1.png)

||

Figura 3: Senosoidal compleja con frecuencia ω=0

Figura 4 (csin2.png)

EJEMPLO 2
||
||

Figura 4: Senosoidal compleja con frecuencia ω=π4

En el Plano Complejo
Nuestra senosoidal compleja se puede graficar en nuestro plano complejo, el cual nos permite visualizar fácilmente los cambios de la senosoidal compleja y extraer algunas propiedades. El valor absoluto de nuestra senosoidal compleja tiene las siguientes características:
∀n,n∈R:(∣∣eiωn∣∣=1)
(3)
El cual nos dice que nuestra senosoidal compleja únicamente toma valores que se encuentran en el círculo unitario. Con respecto al ángulo, la siguiente afirmación es verdadera:
∠(eiωn)=wn
(4)
Cuando n incrementa, podemos ver eiωn igualando los valores que obtenemos al movernos en contra de las manecillas del reloj alrededor del círculo unitario. Observe las siguientes figuras Figura 5 para una mejor ilustración:
|||| (a) n=0

(b) n=1	(c) n=2
Figura 5(a) (fanalcir2.png)	Figura 5(b) (fanalcir3.png)	Figura 5(c) (fanalcir4.png)

||

Figura 5: Estas imágenes muestran que cuando n incrementa, el valor de eiωn se mueve en contra de las manecillas del reloj alrededor del círculo unitario.

NOTE: 
Para que eiωn sea periódica, necesitamos que eiωN=1 para algún N.
EJEMPLO 3
Nuestro primer ejemplo nos permite ver una señal periódica donde ω=2π7 y N=7.
|||| (a) N=7

(b) Aquí tenemos una grafíca de ℜ(ei2π7n).
Figura 6(a) (fcirN1.png)	Figura 6(b) (fplot1.png)

||

Figura 6

EJEMPLO 4
Ahora observemos los resultados de graficar una señal no periódica donde ω=1 y N=7.
||

(a) N=7	(b) Aquí tenemos una gráfica de ℜ(ein).
Figura 7(a) (fcirN2.png)	Figura 7(b) (fplot2.png)

||

Figura 7

Aliasing
Nuestra senosoidal compleja tiene la siguiente propiedad:
eiωn=ei(ω+2π)n
(5)
Dada a esta propiedad, si tenemos una senosoidal con frecuencia ω+2π, observaremos que esta señal tendrá un “aliasing” con una senosoidal de frecuencia ω.
NOTE: 
Cada eiωn es única para ω∈[0,2π)
Frecuencias “Negativas”
Si nos dan una frecuencia π<ω<2π, entonces esta señal será representada en nuestro plano complejo como:
|||| (a)

(b)
Figura 8(a) (fanal_neg1.png)	Figura 8(b) (fanal_neg2.png)

||

Figura 8: Gráfica de nuestra senosoidal compleja con una frecuencia mayor que π.

De nuestras imágenes mostradas arriba, el valor de nuestra senosoidal compleja en el plano complejo se puede interpretar como girar “hacia atrás” (en dirección de las manecillas del reloj) alrededor del círculo unitario con frecuencia 2π−ω. Girar en sentido contrario de las manecillas del reloj w es lo mismo que girar en sentido de las manecillas del reloj2π−ω.
EJEMPLO 5
Graficaremos nuestra senosoidal compleja, eiωn, donde tenemos ω=5π4 y n=1.
||

Figura 9 (fanal_neg3.png)

||

Figura 9: La gráfica anterior de la frecuencia dada es idéntica a una donde ω=−3π4.

Esta gráfica es la misma que una senosoidal de frecuencia “negativa −3π4.
POINT: 
Tiene más sentido elegir un intervalo entre [−π,π) para ω.
Recuerde que eiωn y e−(iωn) son conjugados. Esto nos da la siguiente notación y propiedad:
eiωn−−−=e−(iωn)
(6)
Las partes reales de ambas exponenciales de la ecuación de arriba son las mismas; la parte imaginaria son los negativos de una a la otra. Esta idea es la definición básica de un conjugado.
Ya que hemos visto los conceptos de senosoidales complejas, retomaremos la idea de encontrar una base para las señales periódicas en tiempo discreto. Después de observar las senosoidales complejas, tenemos que responder la pregunta sobre cuales senosoidales en tiempo discreto necesitamos para representar secuencias periódicas con un periodo N.
PREGUNTA EQUIVALENTE: 
Encuentre un conjunto de vectores ∀n,n={0,…,N−1}:(bk=eiωkn) tal que {bk} sea una base para ℂn
Para resolver la pregunta de arriba, usaremos las senosoidales “Armónicos” con una frecuencia fundamental de ω0=2πN:
Senosoidales Armónicas
ei2πNkn
(7)
|||| (a) Senosoidal armónico con k=0

(b) Parte imaginaria del senosoidal, ℑ(ei2πN1n), conk=1	(c) Parte imaginaria del senosoidal, ℑ(ei2πN2n), conk=2
	Figura 10(b) (hsin2.png)	Figura 10(c) (hsin3.png)

||

Figura 10: Ejemplos de nuestras armónicos senosoidales.

ei2πNkn es periódica con periodo N y tiene k “ciclos” entre n=0 y n=N−1.
THEOREM 1
Si dejamos
∀n,n={0,…,N−1}:(bk[n]=1N−−√ei2πNkn)
donde el término exponencial es un vector en CN, entonces {bk}|k={0,…,N−1} es una base ortonormal para CN.
PROOF
Primero que todo, debemos demostrar que {bk} es ortonormal, por ejemplo ⟨bk,bl⟩=δkl
⟨bk,bl⟩=∑n=0N−1bk[n]bl[n]−−−−=1N∑n=0N−1ei2πNkne−(i2πNln)
⟨bk,bl⟩=1N∑n=0N−1ei2πN(l−k)n
(8)
Si l=k, entonces
⟨bk,bl⟩==1N∑n=0N−111
(9)
Si l≠k, entonces tenemos que usar la “fórmula de sumatoria parcial” mostrada abajo:
∑n=0N−1αn=∑n=0∞αn−∑n=N∞αn=11−α−αN1−α=1−αN1−α
⟨bk,bl⟩=1N∑n=0N−1ei2πN(l−k)n
en esta ecuación podemos decir que α=ei2πN(l−k), así podemos ver como esta expresión se encuentra en la forma que necesitamos utilizar para nuestra fórmula de sumatoria parcial.
⟨bk,bl⟩=1N1−ei2πN(l−k)N1−ei2πN(l−k)=1N1−11−ei2πN(l−k)=0
Así,
⟨bk,bl⟩={1 if k=l0 if k≠l
(10)
Por lo tanto: {bk} es un conjunto ortonormal. {bk} es también un base, ya que existen N vectores que son lineal mente independientes (ortogonalidad implica independencia linear).
Finalmente, hemos demostrado que los senosoidales armónicos {1N√ei2πNkn} forman una base ortonormal para ℂn
Series de Discretas de Fourier (DTFS)
Utilizando los pasos anteriores en la derivación, usando nuestro entendimiento de espacio Hilbert , y finalmente usando la expansión ortogonal; el resto de la derivación es automática. Dada una señal periódica discreta (vector ℂn) f[n], podemos escribir:
f[n]=1N−−√∑k=0N−1ckei2πNkn
(11)
ck=1N−−√∑n=0N−1f[n]e−(i2πNkn)
(12)
Nota: Casi toda la gente juntan los términos 1N√ en la expresión para ck.
SERIES DE FOURIER DE TIEMPO DISCRETO: 
Aquí se muestra la forma común de las DTFS tomando en cuenta la nota previa:
f[n]=∑k=0N−1ckei2πNkn
ck=1N∑n=0N−1f[n]e−(i2πNkn)



4.4 Señales no periódicas: transformada de Fourier discreta en el tiempo(TFDT).

4.5. Propiedades de la TFDT.

4.6. Análisis de sistemas lineales invariantes en
el tiempo discreto usando TFDT.