Unidad I Variable compleja

1.1.- Números complejos y funciones

Teorema de los residuos.

El Teorema de los residuos es consecuencia directa del Teorema integral de Cauchy y forma parte fundamental de la teoría matemática de Análisis Complejo.

Enunciado

Sea  una función analítica en un dominio simplemente conexo D, excepto en un número finito de puntos

z_k

que constituyen singularidades aisladas de la función. Sea C una curva simple, cerrada y regular a trozos orientada positivamente, contenida en D y que no pasa por ninguna de las singularidades. Entonces se tiene:

donde  es el Residuo de la función, en el punto singular z_k.

Demostración

Sea  holomorfa usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann la forma diferencial  es cerrada. Por lo tanto, usando el corolario sobre las diferenciales de forma cerrada, un dominio simplemente conexo, sabemos que la integral  es igual a  siempre que  sea una curva homotópica con .
En específico, podemos considerar una curva tipo  la cual tiene una rotación alrededor de los puntos  sobre círculos pequeños, cuando unimos todos estos pequeños círculos por medio de segmentos.
Ya que la curva  sigue cada segmento 2 veces con alineación opuesta, sólo necesitaremos sumar las integrales de  alrededor de los círculos pequeños.
Consecuentemente sea  parametrización de la curva alrededor del punto , entonces tendremos , por lo tanto:

donde , escogido tan extremadamente diminuto, tal que las esferas  están todas desarticuladas y todas en un mismo dominio . Entonces por medio de la linealidad en todas la singularidades, se demuestra que para toda :

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Sea  fija y apliquemos la serie de Laurent para

f

en 

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de tal forma que , donde c-1, es el coeficiente de  en la serie de laurent. Entonces tenemos:

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Observemos que si  , tendremos

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mientras que para  tenemos que los términos de la suma se anulan, debido a que

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